MATLAB之回归
由数据为基础建立数学模型，包括回归，统计，机器学习，深度学习，灰度预测，主成分分析，神经网络，时间序列分析等方法，其中最常用的，较简单的还是回归。我们根据网上找到的一些题目进行分析一下常用的回归方法。
根据回归方法中因变量的个数和回归函数的类型（线性或非线性）可将回归方法分为：一元线性，一元非线性，多元回归，另外还有俩种特殊的回归方式，一种在回归过程中可以调整变量数的回归方法，成为逐步回归，另一种是以指数结构函数作为回归模型的回归方法，成为Logistic回归。接下来我们会针对三种回归模型进行分析。
一元回归
一元线性回归
【例一】近10年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额（单位：亿元）的数据见表1，请监理社会上平零售总额与职
工工资总额数据的回归模型
该问题是典型的一元回归问题， 但先要确定是线性还是非线性，然后就可以利用对应的2回归方法监理他们之间的回归模型了，具体实现的MATLAB代码如下：
（1）输入数据
clc, clear all, close all
x=[23.80,27.60,31.60,32.40,33.70,34.90,43.20,52.80,63.80,73.40];
y=[41.4,51.8,61.70,67.90,68.70,77.50,95.90,137.40,155.0,175.0];
(2)采用最小二乘法回归
Figure
plot(x,y,'r*') %作散点图
xlabel('x（职工工资总额）','fontsize', 12) %横坐标名
ylabel('y（商品零售总额）', 'fontsize',12) %纵坐标名
set(gca,'linewidth',2);
% 采用最小二乘拟合
Lxx=sum((x-mean(x)).^2);
Lxy=sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));
b1=Lxy/Lxx;
b0=mean(y)-b1*mean(x);
y1=b1*x+b0;
hold on
plot(x, y1,'linewidth',2);
在用最小二乘法回归之前，先绘制散点图，这样就可以从图形上判断这些数据是否近似为线性关系，之后我们会得到绘制出的散点图，当我们发现他们确实近似在一条线上后，再用线性回归的方法进行回归，这样也是我们一般分析数据的思路。
(3)采用LinearModel.fit函数进行线性回归
m2 = LinearModel.fit(x,y)
运行结果如下：
m2 =
Linear regression model:
y ~ 1 + x1
Estimated Coefficients:
Estimate SE tStat pValue
(Intercept) -23.549 5.1028 -4.615 0.0017215
x1 2.7991 0.11456 24.435 8.4014e-09
R-squared: 0.987, Adjusted R-Squared 0.985
F-statistic vs. constant model: 597, p-value = 8.4e-09
(4)采用regress函数进行回归
Y=y';
X=[ones(size(x,2),1),x'];
[b, bint, r, rint, s] = regress(Y, X)
运行结果如下：
b =
-23.5493
2.7991
在以上的回归程序中，使用了俩个回归函数LinearModel.fit和regress。在实际使用只需要根据自己的需要选用一种就可以了，函数LinearModel.fit输出的内容为典型的线性回归的参数。关于regress，其用法多样，MATLAB帮助中关于regress的用法，还有以下几种：
b = regress(y,X)
[b,bint] = regress(y,X)
[b,bint,r] = regress(y,X)
[b,bint,r,rint] = regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X)
[...] = regress(y,X,alpha)
输入y（因变量，列变量），X（1与自变量组成的矩阵）和（alpha，是显著性水平，缺省是默认为0.05）
输出：
bint是β0，β1 的置信区间，r 是残差（列向量），rint是残差的置信区间，s包含4个统计量：决定系数 R^2（相关系数为R），F 值，F(1,n-2) 分布大于 F 值的概率 p，剩余方差 s^2 的值。也可由程序sum(r^2)/(n-2) 计算。其意义和用法如下：R^2 的值越接近 1，变量的线性相关性越强，说明模型有效；如果满足：
则认为变量y与x显著性地有线性关系，其中 F1-α(1，n-2) 的值可查F分布表，或直接用 MATLAB 命令 finv(1-α,1, n-2) 计算得到；如果 p<α 表示线性模型可用。这三个值可以相互印证。s^2 的值主要用来比较模型是否有改进，其值越小说明模型精度越高。
